Partie réelle, partie imaginaire - Corrigé

Énoncé

Soit `z_1=\frac{5-i}{3+2i}` et  `z_2=\frac{5+i}{3-2i}` .

1. Vérifier que `z_1+z_2` est un nombre réel. Que peut-on en déduire pour les parties imaginaires de `z_1` et `z_2` ?

2. Vérifier que `z_1-z_2` est un imaginaire pur. Que peut-on en déduire pour les parties réelles de `z_1` et `z_2` ?

Solution

1.  `z_1 + z_2 = 2` . Donc `z_1 + z_2` est un nombre réel. Donc `\text{Im}(z_1 + z_2)=0` , et comme `\text{Im}(z_1 + z_2) = \text{Im}(z_1) + \text{Im}(z_2)` , on a `\text{Im}(z_1) = -\text{Im}(z_2)` .

2. `z_1 - z_2 = -2i` . Donc `z_1 - z_2` est un nombre imaginaire. Donc `\text{Re}(z_1 + z_2)=0` , et comme `\text{Re}(z_1 + z_2) = \text{Re}(z_1) + \text{Re}(z_2)` , on a `\text{Re}(z_1) = -\text{Re}(z_2)` .